渐开线齿轮的齿廓及传动化

一 、渐开线的形成

如图6.2a所示，一条直线nn沿一个半径为r_b的圆的圆周作纯滚动，该直线上任一点K的轨迹AK称为该圆的渐开线。这个圆称为基圆 ，该直线称为渐开线的发生线。渐开线上任一点K的向径OK与起始点A的向径OA的夹角∠AOK(∠AOK=Ө_K)称为渐开线(AK段)的展角。

二、 渐开线的性质

根据渐开线的形成，可知渐开线具有如下性质：

(1)发生线在基圆上滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长，即NK=   ；

(2)因为发生线在基圆上作纯滚动，所以它与基圆的切点N就是渐开线上K点的瞬时速度中心，发生线NK就是渐开线在K点的法线，同时它也是基圆在N点的切线；

(3)切点N是渐开线上K点的曲率中心，NK是渐开线上K点的曲率半径。离基圆越近，曲率半径越小，如图6.2a所示，N₁K₁﹤N₂K₂；

(4) 渐开线的形状取决于基圆的大小。如图6.2b所示，基圆越大，渐开线越平直，当基圆半径无穷大时，渐开线为直线；

(5) 基圆内无渐开线。

三、渐开线方程

如图6.2a所示，渐开线上任一点K的位置可用向径r_k和展角Ө_K来表示。若以此渐开线作为齿轮的齿廓，当两齿轮在K点啮合时，其正压力方向沿着K点的法线（NK）方向，而齿廓上K点的速度垂直于OK线。K点的受力方向与速度方向之间所夹的锐角称为压力角a_K，由图可知∠NOK＝a_k。由可见，渐开线齿廓上各点的压力角值不同，在△NOK中可得出

上式表明，θ_k随压力角a_k而改变，称θ_k为压力角a_k的渐开线函数，记作inv　a_k，即θ_k＝inv　a_k=tan a_k–a_k, θ_k以弧度（rad）度量。工程上已将不同压力角的渐开线函数inv　 a_k的值列成表格（表6.2）以备查用。

表6.2　渐开线函数　inv a_k=tan a_k–a_k

四、渐开线齿廓的啮合特点

一对齿轮传动是靠主动轮齿廓依次推动从动轮齿廓来实现的。两轮的瞬时角速度之比称为传动比。在工程中要求传动比是定值。

通常主动轮用“I”表示，从动轮用“2”表示。w₁为主动轮的角速度，w₂为从动轮的角速度，在一般情况下为降速的，故i＞1。上式中i₁₂只表示其大小，而不考虑两轮的转动方向。

啮合特性如下所述：

1、四线合一

如图6.3所示，一对渐开线齿郭在任意点K啮合，过K点作两齿廓的公法线N₁、N₂，根据渐开线性质，该公法线就是两基圆的内公切线。当两齿廓转到K′点啮合时，过K′点所作公法线也是两基圆的公切线。由于齿轮基圆的大小和位置均固定，公法线nn是唯一的。因此不管齿轮在哪一点啮合，啮合点总在这条公法线上，该公法线也可称为啮合线。由于两个齿轮啮合传动时其正压力是沿着公法线方向的，因此对渐开线齿廓的齿轮传动来说，啮合线、过啮合点的公法线、基圆的内公切线和正压力作用线的四线合一。该线与连心线0₁0₂的交点P是一固定点，P点称为节点。

2、中心距可分性

如图6.3所示，分别以轮心0₁与0₂为圆心，以r′₁＝0₁P与r′₂＝0₂P为半径所作的圆，称为节圆。一对渐开线齿轮的啮合传动可以看作两个节圆的纯滚动，且u_p1＝u_p2。设齿轮1、齿轮2的角速度分别为w₁和w₂，则

u_p1＝w_1·0₁P＝u_p2＝w_2·0₂P

从图6.3中可知，△0₁PN₁～0₂PN₂，所以两轮的传动比为

由上式可知渐开线齿轮的传动比是常数。齿轮一经加工完毕，基圆大小就确定了，因此在安装时若中心距略有变化也不会改变传动比的大小，此特性称为中心距可分性。该特性使渐开线齿轮对加工、安装的误差及轴承的磨损不敏感，这一点对齿轮传动十分重要。

3、啮合角不变

啮合线与两节圆公切线所夹的锐角称为啮合角，用a′表示，它就是渐开线在节圆上的压力角。显然齿轮传动时啮合角不变，力作用线方向不变。若传递的扭矩不变，其压力大小也保持不变，因而传动较平稳。

4、齿面的滑动

如图6.3所示在节点啮合时，两个节圆作纯滚动，齿面上无滑动存在。在任意点K啮合时，由于两轮在K点的线速度（u_k1、u_k1）不重合，必会产生沿着齿面方向的相对滑动，造成齿面的磨损等。