一 、渐开线的形成

如图6.2a所示,一条直线nn沿一个半径为rb的圆的圆周作纯滚动,该直线上任一点K的轨迹AK称为该圆的渐开线。这个圆称为基圆 ,该直线称为渐开线的发生线。渐开线上任一点K的向径OK与起始点A的向径OA的夹角∠AOK(∠AOK=ӨK)称为渐开线(AK段)的展角。

渐开线的形成

二、 渐开线的性质

根据渐开线的形成,可知渐开线具有如下性质:

(1)发生线在基圆上滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长,即NK=   ;

(2)因为发生线在基圆上作纯滚动,所以它与基圆的切点N就是渐开线上K点的瞬时速度中心,发生线NK就是渐开线在K点的法线,同时它也是基圆在N点的切线;

(3)切点N是渐开线上K点的曲率中心,NK是渐开线上K点的曲率半径。离基圆越近,曲率半径越小,如图6.2a所示,N1K1﹤N2K2

(4) 渐开线的形状取决于基圆的大小。如图6.2b所示,基圆越大,渐开线越平直,当基圆半径无穷大时,渐开线为直线;

(5) 基圆内无渐开线。

三、渐开线方程

如图6.2a所示,渐开线上任一点K的位置可用向径rk和展角ӨK来表示。若以此渐开线作为齿轮的齿廓,当两齿轮在K点啮合时,其正压力方向沿着K点的法线(NK)方向,而齿廓上K点的速度垂直于OK线。K点的受力方向与速度方向之间所夹的锐角称为压力角aK,由图可知∠NOK=ak。由可见,渐开线齿廓上各点的压力角值不同,在△NOK中可得出

渐开线方程

上式表明,θk随压力角ak而改变,称θk为压力角ak的渐开线函数,记作inv ak,即θk=inv ak=tan ak–ak, θk以弧度(rad)度量。工程上已将不同压力角的渐开线函数inv  ak的值列成表格(表6.2)以备查用。

表6.2 渐开线函数 inv ak=tan ak–ak

ak(0)   0′ 5′ 10′ 15′ 20′ 25′ 30′ 35′ 40′ 45′ 50′ 55′
10 0.00 17941 18397 18860 19332 19812 20299 20795 21299 21810 22330 22859 23396
11 0.00 23941 24495 25057 25628 26208 26797 27394 28001 28616 29241 29875 30518
12 0.00 31171 31832 32504 33185 33875 34575 35285 36005 36735 37474 38224 38984
13 0.00 39754 40534 41325 42126 42938 43760 44593 45437 46291 47157 48033 48921
14 0.00 49819 50729 51650 52582 53526 54482 55448 56427 57417 58420 59434 60460
15 0.00 61498 62548 63611 64686 65773 66873 67985 69110 70248 71398 72561 73738
16 0.0 07493 07613 07735 07857 07982 08107 08234 08362 08492 08623 08756 08889
17 0.0 09025 09161 09299 09439 09580 09722 09866 10012 10158 10307 10456 10608
18 0.0 10760 10915 11071 11228 11387 11547 11709 11873 12038 12205 12373 12543
19 0.0 12715 12888 13063 13240 13418 13598 13779 13963 14148 14334 14523 14713
20 0.0 14904 15098 15293 15490 15689 15890 16092 16296 16502 16710 16920 17132
21 0.0 17345 17560 17777 17996 18217 18440 18665 18891 19120 19350 19583 19817
22 0.0 20054 20292 20533 20775 21019 21266 21514 21765 22018 22272 22529 22788
23 0.0 23049 23312 23577 23845 24114 24386 24660 24936 25214 25495 25778 26062
24 0.0 26350 26639 26931 27225 27521 27820 28121 28424 28729 29037 29348 29660
25 0.0 29975 30293 30613 30935 31260 31587 31917 32249 32583 32920 33260 33602
26 0.0 33947 34294 34644 34997 35352 35709 36069 36432 36798 37166 37537 37910
27 0.0 38287 38666 39047 39432 39819 40209 40602 40997 41395 41797 42201 42607
28 0.0 43017 43430 43845 44264 44685 45110 45537 45967 46400 46837 47276 47718
29 0.0 48164 48612 49064 49518 49976 50437 50901 51368 51838 52312 52788 53268
30 0.0 53751 54238 54728 55221 55717 56217 56720 57226 57736 58249 58765 59285
31 0.0 59809 60336 60866 61400 61937 62478 63022 63570 64122 64677 65236 65799
32 0.0 66364 66934 67507 68084 68665 69250 69838 70430 71026 71626 72230 72838
33 0.0 73449 74064 74684 75307 76565 76565 77200 77839 78483 79130 79781 80437
34 0.0 81097 81760 82428 83100 84457 84457 85142 85832 86525 87223 87925 88631
35 0.0 39342 90058 90777 91502 92963 92963 93701 94443 95190 95942 96698 97459
36 0.0 09822 09899 09977 10055 10212 10212 10292 10371 10452 10533 10614 10696
37 0. 10778 10861 10944 11028 11197 11197 11283 11369 11455 11542 11630 11718
38 0. 11806 11895 11985 12075 12257 12257 12348 12441 12534 12627 12721 12815
39 0. 12911 13006 13102 13199 13395 13395 13493 13592 13692 13792 13893 13995
40 0. 14097 14200 14303 14407 14616 14616 14722 14829 14936 15043 15152 15261
41 0. 15370 15480 15591 15703 15928 15928 16041 16156 16270 16386 16502 16619
42 0. 16737 16855 16974 17093 17336 17336 17457 17579 17702 17826 17951 18076
43 0. 18202 18329 18457 18585 18844 18844 18975 19106 19238 19371 19505 19639
44 0. 19774 19910 20047 20185 20463 20463 20603 20743 20885 21028 21171 21315
45 0. 21460 21606 21753 21900 22198 22198 22348 22499 22651 22804 22958 23112
46 0. 23268 23424 23582 23740 24059 24059 24220 24382 24545 24709 24874 25040
47 0. 25206 25374 25543 25713 26055 26055 26228 26401 26575 26752 26929 27107
48 0. 27285 27465 27646 27828 28196 28196 28381 28567 28755 28943 29133 29324
49 0. 29516 29709 29903 30098 30492 30492 30691 30891 31092 31295 31498 31703
50 0. 31909 32116 32324 32534 32957 32957 33171 33385 33601 33818 34037 34257
51 0. 34478 34700 34924 35149 35604 35604 35833 36063 36295 36529 36763 36999
52 0. 37237 37476 37716 37958 38446 38446 38693 38941 39190 39441 39693 39947
53 0. 40202 40459 40717 40977 41502 41502 41767 42034 42302 42571 42843 43116
54 0. 43390 43667 43945 44225 44789 44789 45074 45361 45650 45940 46232 46526
55 0. 46822 47119 47419 47720 48328 48328 48635 48944 49255 49568 49882 50199
56 0. 50518 50838 51161 51486 52141 52141 52472 52305 53141 53478 53817 54159
57 0. 54503 54849 55197 55547 56255 56255 56612 56972 57333 57698 58064 58433
58 0. 58804 59178 59554 59933 60697 60697 61083 61472 61863 62257 62653 63052
59 0. 63454 63858 64265 64674 65501 65501 65919 66340 66763 67189 67618 68050
                               

四、渐开线齿廓的啮合特点

一对齿轮传动是靠主动轮齿廓依次推动从动轮齿廓来实现的。两轮的瞬时角速度之比称为传动比。在工程中要求传动比是定值。

传动比

通常主动轮用“I”表示,从动轮用“2”表示。w1为主动轮的角速度,w2为从动轮的角速度,在一般情况下为降速的,故i>1。上式中i12只表示其大小,而不考虑两轮的转动方向。

啮合特性如下所述:

渐开齿的啮合

1、四线合一

如图6.3所示,一对渐开线齿郭在任意点K啮合,过K点作两齿廓的公法线N1、N2,根据渐开线性质,该公法线就是两基圆的内公切线。当两齿廓转到K′点啮合时,过K′点所作公法线也是两基圆的公切线。由于齿轮基圆的大小和位置均固定,公法线nn是唯一的。因此不管齿轮在哪一点啮合,啮合点总在这条公法线上,该公法线也可称为啮合线。由于两个齿轮啮合传动时其正压力是沿着公法线方向的,因此对渐开线齿廓的齿轮传动来说,啮合线、过啮合点的公法线、基圆的内公切线和正压力作用线的四线合一。该线与连心线0102的交点P是一固定点,P点称为节点。

2、中心距可分性

如图6.3所示,分别以轮心0102为圆心,以r′1=01P与r′2=02P为半径所作的圆,称为节圆。一对渐开线齿轮的啮合传动可以看作两个节圆的纯滚动,且up1=up2。设齿轮1、齿轮2的角速度分别为w1和w2,则

up1=w01P=up2=w02P

从图6.3中可知,△01PN1~02PN2,所以两轮的传动比为

两轮的传动

由上式可知渐开线齿轮的传动比是常数。齿轮一经加工完毕,基圆大小就确定了,因此在安装时若中心距略有变化也不会改变传动比的大小,此特性称为中心距可分性。该特性使渐开线齿轮对加工、安装的误差及轴承的磨损不敏感,这一点对齿轮传动十分重要。

3、啮合角不变

啮合线与两节圆公切线所夹的锐角称为啮合角,用a′表示,它就是渐开线在节圆上的压力角。显然齿轮传动时啮合角不变,力作用线方向不变。若传递的扭矩不变,其压力大小也保持不变,因而传动较平稳。

4、齿面的滑动

如图6.3所示在节点啮合时,两个节圆作纯滚动,齿面上无滑动存在。在任意点K啮合时,由于两轮在K点的线速度(uk1、uk1)不重合,必会产生沿着齿面方向的相对滑动,造成齿面的磨损等。

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