渐开线齿轮的齿廓及传动化

一 、渐开线的形成

如图6.2a所示,一条直线nn沿一个半径为rb的圆的圆周作纯滚动,该直线上任一点K的轨迹AK称为该圆的渐开线。这个圆称为基圆 ,该直线称为渐开线的发生线。渐开线上任一点K的向径OK与起始点A的向径OA的夹角∠AOK(∠AOK=ӨK)称为渐开线(AK段)的展角。

渐开线的形成

二、 渐开线的性质

根据渐开线的形成,可知渐开线具有如下性质:

(1)发生线在基圆上滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长,即NK=   ;

(2)因为发生线在基圆上作纯滚动,所以它与基圆的切点N就是渐开线上K点的瞬时速度中心,发生线NK就是渐开线在K点的法线,同时它也是基圆在N点的切线;

(3)切点N是渐开线上K点的曲率中心,NK是渐开线上K点的曲率半径。离基圆越近,曲率半径越小,如图6.2a所示,N1K1﹤N2K2

(4) 渐开线的形状取决于基圆的大小。如图6.2b所示,基圆越大,渐开线越平直,当基圆半径无穷大时,渐开线为直线;

(5) 基圆内无渐开线。

三、渐开线方程

如图6.2a所示,渐开线上任一点K的位置可用向径rk和展角ӨK来表示。若以此渐开线作为齿轮的齿廓,当两齿轮在K点啮合时,其正压力方向沿着K点的法线(NK)方向,而齿廓上K点的速度垂直于OK线。K点的受力方向与速度方向之间所夹的锐角称为压力角aK,由图可知∠NOK=ak。由可见,渐开线齿廓上各点的压力角值不同,在△NOK中可得出

渐开线方程

上式表明,θk随压力角ak而改变,称θk为压力角ak的渐开线函数,记作inv ak,即θk=inv ak=tan ak–ak, θk以弧度(rad)度量。工程上已将不同压力角的渐开线函数inv  ak的值列成表格(表6.2)以备查用。

表6.2 渐开线函数 inv ak=tan ak–ak

ak(0) 0′5′10′15′20′25′30′35′40′45′50′55′
100.00179411839718860193321981220299207952129921810223302285923396
110.00239412449525057256282620826797273942800128616292412987530518
120.00311713183232504331853387534575352853600536735374743822438984
130.00397544053441325421264293843760445934543746291471574803348921
140.00498195072951650525825352654482554485642757417584205943460460
150.00614986254863611646866577366873679856911070248713987256173738
160.0074930761307735078570798208107082340836208492086230875608889
170.0090250916109299094390958009722098661001210158103071045610608
180.0107601091511071112281138711547117091187312038122051237312543
190.0127151288813063132401341813598137791396314148143341452314713
200.0149041509815293154901568915890160921629616502167101692017132
210.0173451756017777179961821718440186651889119120193501958319817
220.0200542029220533207752101921266215142176522018222722252922788
230.0230492331223577238452411424386246602493625214254952577826062
240.0263502663926931272252752127820281212842428729290372934829660
250.0299753029330613309353126031587319173224932583329203326033602
260.0339473429434644349973535235709360693643236798371663753737910
270.0382873866639047394323981940209406024099741395417974220142607
280.0430174343043845442644468545110455374596746400468374727647718
290.0481644861249064495184997650437509015136851838523125278853268
300.0537515423854728552215571756217567205722657736582495876559285
310.0598096033660866614006193762478630226357064122646776523665799
320.0663646693467507680846866569250698387043071026716267223072838
330.0734497406474684753077656576565772007783978483791307978180437
340.0810978176082428831008445784457851428583286525872238792588631
350.0393429005890777915029296392963937019444395190959429669897459
360.0098220989909977100551021210212102921037110452105331061410696
370.107781086110944110281119711197112831136911455115421163011718
380.118061189511985120751225712257123481244112534126271272112815
390.129111300613102131991339513395134931359213692137921389313995
400.140971420014303144071461614616147221482914936150431515215261
410.153701548015591157031592815928160411615616270163861650216619
420.167371685516974170931733617336174571757917702178261795118076
430.182021832918457185851884418844189751910619238193711950519639
440.197741991020047201852046320463206032074320885210282117121315
450.214602160621753219002219822198223482249922651228042295823112
460.232682342423582237402405924059242202438224545247092487425040
470.252062537425543257132605526055262282640126575267522692927107
480.272852746527646278282819628196283812856728755289432913329324
490.295162970929903300983049230492306913089131092312953149831703
500.319093211632324325343295732957331713338533601338183403734257
510.344783470034924351493560435604358333606336295365293676336999
520.372373747637716379583844638446386933894139190394413969339947
530.402024045940717409774150241502417674203442302425714284343116
540.433904366743945442254478944789450744536145650459404623246526
550.468224711947419477204832848328486354894449255495684988250199
560.505185083851161514865214152141524725230553141534785381754159
570.545035484955197555475625556255566125697257333576985806458433
580.588045917859554599336069760697610836147261863622576265363052
590.634546385864265646746550165501659196634066763671896761868050

四、渐开线齿廓的啮合特点

一对齿轮传动是靠主动轮齿廓依次推动从动轮齿廓来实现的。两轮的瞬时角速度之比称为传动比。在工程中要求传动比是定值。

传动比

通常主动轮用“I”表示,从动轮用“2”表示。w1为主动轮的角速度,w2为从动轮的角速度,在一般情况下为降速的,故i>1。上式中i12只表示其大小,而不考虑两轮的转动方向。

啮合特性如下所述:

渐开齿的啮合

1、四线合一

如图6.3所示,一对渐开线齿郭在任意点K啮合,过K点作两齿廓的公法线N1、N2,根据渐开线性质,该公法线就是两基圆的内公切线。当两齿廓转到K′点啮合时,过K′点所作公法线也是两基圆的公切线。由于齿轮基圆的大小和位置均固定,公法线nn是唯一的。因此不管齿轮在哪一点啮合,啮合点总在这条公法线上,该公法线也可称为啮合线。由于两个齿轮啮合传动时其正压力是沿着公法线方向的,因此对渐开线齿廓的齿轮传动来说,啮合线、过啮合点的公法线、基圆的内公切线和正压力作用线的四线合一。该线与连心线0102的交点P是一固定点,P点称为节点。

2、中心距可分性

如图6.3所示,分别以轮心0102为圆心,以r′1=01P与r′2=02P为半径所作的圆,称为节圆。一对渐开线齿轮的啮合传动可以看作两个节圆的纯滚动,且up1=up2。设齿轮1、齿轮2的角速度分别为w1和w2,则

up1=w01P=up2=w02P

从图6.3中可知,△01PN1~02PN2,所以两轮的传动比为

两轮的传动

由上式可知渐开线齿轮的传动比是常数。齿轮一经加工完毕,基圆大小就确定了,因此在安装时若中心距略有变化也不会改变传动比的大小,此特性称为中心距可分性。该特性使渐开线齿轮对加工、安装的误差及轴承的磨损不敏感,这一点对齿轮传动十分重要。

3、啮合角不变

啮合线与两节圆公切线所夹的锐角称为啮合角,用a′表示,它就是渐开线在节圆上的压力角。显然齿轮传动时啮合角不变,力作用线方向不变。若传递的扭矩不变,其压力大小也保持不变,因而传动较平稳。

4、齿面的滑动

如图6.3所示在节点啮合时,两个节圆作纯滚动,齿面上无滑动存在。在任意点K啮合时,由于两轮在K点的线速度(uk1、uk1)不重合,必会产生沿着齿面方向的相对滑动,造成齿面的磨损等。

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